Доказанную теорему, установленную еще знаменитым И. Ньютоном, можно использовать для вывода некоторых свойств четырех точек A, B, C, D эллипса, принадлежащих одной окружности (см. Рис. 26).

Если хорды AB и CD пересекаются в точке M, то, по известному свойству окружности, MA ∙ MB = MC ∙ MD. Поэтому диаметры эллипса, параллельные хордам AB и CD, должны быть равны между собой. Но из соображений симметрии следует, что равные диаметры одинаково наклонены к оси эллипса; поэтому хорды AB и CD одинаково наклонены к оси эллипса, т. е. эти хорды или их продолжения образуют с осью эллипса равные внутренние односторонние углы. Нетрудно видеть, что справедливо и обратное утверждение. Таким образом, для того чтобы четыре точки A, B, C, D эллипса принадлежали одной окружности, необходимо и достаточно, чтобы хорды AB и CD составляли с одной из осей эллипса равные внутренние односторонние углы.

     Пусть теперь окружность S касается эллипса E в точке A и пересекает его в двух других точках C и D. Оставим точку A на месте и будем приближать к ней точку C. Окружность будет при этом принимать различные положения и, наконец, займет предельное положение, когда точка C совпадет с A, а точка D займет предельное положение D₀. Такая окружность называется соприкасающейся окружностью эллипса в точке A; она имеет с эллипсом касание в одной точке A и дополнительно пересекает эллипс только в одной точке D₀ (см. Рис. 28).

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-