Рассмотрим теперь снова окружность, из которой эллипс получается сжатием к прямой. Проведем в этой окружности две хорды AB и CD, пересекающиеся в точке M (см. Рис. 25, а). В силу известной теоремы (MA ∙ MB) : (MC ∙ MD) = 1.

     Сжатие к прямой даст нам эллипс и две его хорды A₁B₁ и C₁D₁, пересекающиеся в точке M₁ (см. Рис. 25, б), причем

M₁A₁ = l₁ ∙ MA,   M₁B₁ = l₁ ∙ MB,   M₁C₁ = l₂ ∙ MC,   M₁D₁ = l₂ ∙ MD,

где l₁ и l₂ - коэффициенты пропорциональности, определяемые направлением отрезков и коэффициентом сжатия k. Следовательно,

     Если мы сохраним направления хорд AB и CD, но изменим положение точки M, то сохранятся направления хорд A₁B₁ и C₁D₁ и изменится положение точки M₁. Однако при этом коэффициенты l₁ и l₂ остаются неизменными. Значит, отношение произведений отрезков двух хорд не зависит от точки их пересечения, а зависит лишь от их направлений: если две хорды A₁B₁ и C₁D₁ эллипса (или продолжения этих хорд) пересекаются в точке M₁, то отношение

(M₁A₁ ∙ M₁B₁) : (M₁C₁ ∙ M₁D₁)

зависит лишь от направлений хорд, но не от выбора точки M₁.

     Отсюда, в частности, следует, что отношение отрезков двух касательных к эллипсу, проведенных из точки M₀ и заключенных между точкой M₀ и точками касания, равно отношению диаметров эллипса, параллельных данным касательным.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-