Таким образом, приходим к так называемой первой теореме Аполлония: сумма квадратов сопряженных полудиаметров эллипса есть величина постоянная, равная сумме квадратов его полуосей.

     Далее, так как при сжатии к прямой площади всех фигур умножаются на коэффициент сжатия (для того чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть, во что переходит при сжатии сетка мелких квадратов, одна сторона которых параллельна оси сжатия), то всякий описанный около эллипса параллелограмм, стороны которого имеют сопряженные направления, является образом квадрата со стороной 2a, описанного около окружности (см. Рис. 22).

Поэтому площадь такого параллелограмма равна , что выражает вторую теорему Аполлония: площадь описанного около эллипса параллелограмма, стороны которого имеют сопряженные направления, постоянна и равна 4ab.

     Из аналогичных соображений легко получить, что площадь эллипса равна πab.

     Пусть OA = m, OB = n - два перпендикулярных полудиаметра эллипса (см. Рис. 23). Опустим из точек A и B перпендикуляры AA₁ и BB₁ на большую ось эллипса. Очевидно, что . Следовательно, если OB₁ = s, то . Подвергнем теперь эллипс сжатию к его большой оси с коэффициентом (в действительности это "сжатие" будет растяжением, поскольку ). Точки A₀ и B₀, полученные из точек A и B сжатием, будут лежать на описанной около эллипса окружности радиуса a. Отсюда вытекает, что

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-