Таким образом, координаты (X, Y) точки M₁ удовлетворяют уравнению эллипса, и множество точек M₁ представляет собой эллипс. Иными словами, кривая, получаемая из окружности сжатием к одному из ее диаметров, есть эллипс, для которого данная окружность является описанной.

     Установленное свойство эллипса позволяет легко строить эллипс по точкам, если известна окружность, из которой он получается сжатием. Из точки M окружности радиуса a опускаем на диаметр перпендикуляр и находим на нем такую точку M₁, что h₁ : h = b : a. Тогда точка M₁ принадлежит эллипсу с полуосями a и b.

     При сжатии к прямой три точки, принадлежащие одной прямой, переходят в три точки, также принадлежащие одной прямой; другими словами, прямая переходит при этом преобразовании снова в прямую. Из этого свойства и свойства взаимной однозначности преобразования сжатия к прямой вытекает, что касательная к окружности при сжатии переходит в касательную к эллипсу в соответствующей точке. Если из некоторой точки N₁ мы хотим провести к эллипсу касательную, поступим следующим образом: построим точку N, получаемую из N₁ преобразованием сжатия с осью x (большая ось эллипса) и коэффициентом , затем из точки N проведем к описанной окружности эллипса касательную t и, наконец, подвергнем ее сжатию с коэффициентом k (см. Рис. 19). Полученная прямая t₁ является касательной к эллипсу. Поэтому из точки N₁ можно к эллипсу провести не более двух касательных (так как не более двух касательных можно провести из точки N к описанной окружности). Внешние точки по отношению к окружности переходят при сжатии во внешние точки эллипса и наоборот; следовательно, из внешней точки эллипса можно провести к эллипсу две касательные.

     При сжатии к прямой точке пересечения двух прямых соответствует точка пересечения преобразованных прямых; поэтому параллельные прямые преобразуются в параллельные. Кроме того, отношение двух параллельных отрезков равно отношению преобразованных отрезков; в частности, отрезок и его середина переходят при сжатии к прямой в отрезок и его середину. Но середины параллельных хорд окружности расположены на одной прямой - на диаметре окружности; поэтому середины параллельных хорд эллипса также принадлежат одной прямой - диаметру эллипса (см. Рис. 20). Очевидно, что диаметр эллипса проходит через его центр и касательные в концах отрезка диаметра параллельны хордам, которые делятся этим диаметром пополам.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-