Пусть, наконец, из точки P проведены к эллипсу две взаимно перпендикулярные касательные t₁ и t₂ (см. Рис. 17).

Отразим фокус относительно прямой t₂ и полученную точку соединим с F. Очевидно, что и угол - прямой (последнее следует из того, что угол между t₁ и t₂ прямой, и второй теоремы Понселе); следовательно . Но ; поэтому . С другой стороны, PO - медиана треугольника , так что . Учитывая предыдущее равенство получаем: PO² = 2a² - c² или PO² = (a² - c²) + a² = a² + b², т. е. вершины прямых углов, стороны которых касаются эллипса, расположены на окружности радиуса с центром в центре эллипса.

     Эллипс как результат сжатия окружности. Пусть точка M, принадлежащая эллипсу, удалена от главной оси x на расстояние MM₁ = y, а от главной оси y - на расстояние MM₂ = x (см. Рис. 18). Симметрия эллипса позволяет ограничиться рассмотрением точек эллипса, расположенных внутри одного из прямых углов, образованных главными осями x и y. Из соотношений (2) следует:

После исключения r и d, получим:

откуда, умножая обе части равенства на a и учитывая соотношения (2), найдем окончательно:

b²x² + a²y² = a²b²

или

     (3)

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-