Докажем, что эта биссектриса проходит через точку пересечения P касательных, проведенных к эллипсу в точках A и B. Соединим точки A и B со вторым фокусом и рассмотрим (самопересекающийся) четырехугольник , в котором сумма одной пары смежных сторон равна сумме другой пары сторон: . Для такого четырехугольника существует окружность, касающаяся всех его сторон или их продолжений. Центр этой окружности лежит на пересечении биссектрис внешних углов при тех вершинах, в которых сходятся пары сторон с одинаковыми суммами, и биссектрис внутренних углов при двух других вершинах. Но касательные к эллипсу в точках A и B как раз и являются биссектрисами внешних углов четырехугольника и поэтому они пересекаются в центре P окружности. Таким образом, прямые FP и являются биссектрисами соответствующих углов между фокальными радиусами точек A и B. Итак, биссектриса угла между двумя фокальными радиусами двух точек эллипса, соответствующими одному фокусу, проходит через точку пересечения касательных к эллипсу в этих точках.

     б) Докажем, что . Для этого отразим фокус F относительно касательной PA, а фокус относительно касательной PB; полученные точки F₁ и соединим соответственно с и F (см. Рис. 16). Треугольники и равны (по трем сторонам), и поэтому . Вычитая из этих углов общий угол и деля разность пополам, получим искомое равенство. Таким образом, два фокальных радиуса, соответствующих двум различным точкам эллипса и различным его фокусам, видны из точки пересечения касательных в этих точках под равными углами.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-