Расстояние OP = d от центра эллипса до касательной равно . Так как точки H и лежат на описанной около эллипса окружности, то . Из прямоугольного треугольника OPH следует, что . Но ; поэтому . Отсюда вытекает, что , т. е. произведение расстояний от фокуса эллипса до каждой ее касательной есть величина постоянная, равная квадрату малой полуоси эллипса.

     Если прямая g не является касательной к эллипсу и оба фокуса находятся от нее по одну сторону, то произведение расстояний фокусов до прямой g будет отлично от b², а именно, для прямых, пересекающих эллипс, это произведение меньше b², а для прямых, не пересекающих эллипс, - больше, чем b². Значит, если фиксировать две точки F и и рассмотреть множество таких прямых, что обе точки находятся по одну сторону от прямой и произведение расстояний обеих точек до прямой постоянно, то это множество прямых совпадает с множеством касательных к некоторому эллипсу.

     Докажем теперь две интересные теоремы, принадлежащие французскому математику XIX века Понселе.

     а) Проведем два фокальных радиуса FA и FB и построим биссектрису угла AFB (см. Рис. 15).

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-