решения некоторых задач

     Назовем диаметром области D_i точную верхнюю грань расстояний между двумя любыми точками этой области. Символом обозначим наибольший из диаметров частичных областей D₁, D₂, ..., D_r.

     Число I называется пределом интегральных сумм (3) при , если для любого положительного числа ε можно указать такое положительное число δ, что при независимо от выбора точек P_i в частичных областях D_i выполняется неравенство

     Общее определение интегрируемости. Функция f(x, y) называется интегрируемой (по Риману) в области D, если существует конечный предел I интегральных сумм этой функции при . Указанный предел называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области D.

     Докажем следующую фундаментальную теорему.

     Теорема 5. Сформулированное общее определение интегрируемости эквивалентно определению, данному в пункте Определение двойного интеграла при помощи произвольных разбиений области.

     Доказательство. Очевидно, что если функция f(x, y) интегрируема, согласно общему определению интегрируемости, и ее двойной интеграл, согласно этому определению, равен I, то эта функция интегрируема и, согласно определению в пункте Определение и существование двойного интеграла для произвольной области, имеет, согласно этому определению, тот же самый двойной интеграл I.

     Остается доказать, что если функция f(x, y) интегрируема в области D, согласно определению в пункте Определение и существование двойного интеграла для произвольной области, и I - двойной интеграл от f(x, y) по области D, согласно этому определению, то для функции f(x, y) существует равный I предел интегральных сумм при .

решения некоторых задач

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-