решения некоторых задач

     Функцию f(x, y) будем называть интегрируемой в области D, если функция F(x, y) интегрируема в прямоугольнике R.

     При этом число назовем двойным интегралом от функции f(x, y) по области D и обозначим символом

     Замечание 1. Из этого определения сразу же вытекает, что интеграл равен площади области D. В самом деле, подвергая соответствующий прямоугольник R все более мелким разбиениям, получим, что верхние суммы этих разбиений будут равны площадям элементарных фигур, содержащих D, а нижние суммы - площадям элементарных фигур, содержащихся в D.

     Замечание 2. Пусть функция f(x, y) интегрируема в ограниченной квадрируемой области D, плоскость покрыта квадратной сеткой с шагом h, C₁, C₂, ..., C_n(h) - квадраты указанной сетки, целиком содержащиеся в области D, (ξ_k, η_k) - произвольная точка квадрата C_k, . Тогда каждая из сумм

имеет предел при h → 0, равный .

     Для доказательства достаточно заметить, что указанные суммы отличаются от обычной интегральной суммы (соответственно от нижней суммы) функции f(x, y) в области D только отсутствием слагаемых по квадратам, имеющим общие точки с границе Г области D, причем сумма всех отсутствующих слагаемых по модулю меньше произведения точной верхней грани M функции |f(x, y)| в области D на площадь S элементарной фигуры, состоящей из квадратов, имеющих общие точки с Г. Согласно доказанному выше утверждению S → 0 при h → 0.

     В отношении данного нами определения естественно возникает вопрос, зависит ли факт существования двойного интеграла и его величина I от 1) выбора на плоскости координатных осей Ox и Oy; 2) выбора прямоугольника R, на котором определяем функцию F(x, y).

     Далее дадим другое определение интегрируемости функции f(x, y) и двойного интеграла, не зависящее ни от выбора координатных осей, ни от выбора прямоугольника R, и докажем эквивалентность этого определения приведенному выше.

     Пока же укажем следующую основную теорему, почти непосредственно вытекающую из теоремы 3 и из данного выше определения.

решения некоторых задач

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-