решения некоторых задач

     Справедливы следующие утверждения (доказательства их полностью аналогичны доказательствам, приведенным в пункте Свойства верхних и нижних сумм).

     1°. Для любого фиксированного разбиения T и любого ε > 0 промежуточные точки (ξ_k, η_l) на частичных прямоугольниках R_kl можно выбрать так, что интегральная сумма σ будет удовлетворять неравенствам 0 ≤ S - σ ≤ ε.

     Точки (ξ_k, η_l) можно выбрать и таким образом, что интегральная сумма будет удовлетворять неравенствам 0 ≤ σ - s ≤ ε.

     2°. Если разбиение T' прямоугольника R получено путем добавления новых прямых к прямым, производящим разбиение T, то верхняя сумма S' разбиения T' не больше верхней суммы S разбиения T, а нижняя сумма s' разбиения T' не меньше нижней суммы s разбиения T, т. е.

s ≤ s',     S' ≤ S.

     3°. Пусть T' и T" - любые два разбиения прямоугольника R. Тогда нижняя сумма одного из этих разбиений не превосходит верхнюю сумму другого. Именно, если s', S' и s", S" - соответственно нижние и верхние суммы разбиений T' и T", то

s' ≤ S",     s" ≤ S'.

     4°. Множество {S} верхних сумм данной функции f(x, y) для всевозможных разбиений прямоугольника R ограничено снизу. Множество {s} нижних сумм ограничено сверху.

     Таким образом, существуют числа

называемые соответственно верхним и нижним интегралами Дарбу (от функции f(x, y) по прямоугольнику R).

     Легко убедиться, что .

     5°. Пусть разбиение T' прямоугольника R получено из разбиения T добавлением к последнему p новых прямых, и пусть s', S' и s, S - соответственно нижние и верхние суммы разбиений T' и T.

     Тогда для разностей S - S' и s' - s может быть получена оценка, зависящая от максимального диаметра Δ частичного прямоугольника разбиения T, числа p добавленных прямых, точных граней M и m функций f(x, y) на прямоугольнике R и от диаметра d прямоугольника R.

     Именно

S - S' ≤ (M - m) · p · Δ · d,
s' - s ≤ (M - m) · p · Δ · d.

     6°. Верхний и нижний интегралы Дарбу и от функции f(x, y) по прямоугольнику R являются соответственно пределами верхних и нижних сумм при Δ → 0^*.

решения некоторых задач

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-

^*   Понятие предела верхних или нижних сумм определяется в полной аналогии с понятием предела интегральных сумм. Именно, число называется пределом верхних сумм S при Δ → 0, если для любого ε > 0 можно указать δ > 0 такое, что при Δ < δ.