решения некоторых задач

     Докажем, что для сумм и любого разбиения области D, удовлетворяющего условию Δ < δ, справедливы неравенства

     (5)

     (6)

Ограничимся доказательством неравенства (5), т. к. неравенство (6) доказывается аналогично.

     Удалим из суммы все слагаемые , соответствующие областям D_i, каждая из которых не лежит целиком в одном частичном прямоугольнике разбиения T. Все такие области D_i принадлежат указанной выше элементарной фигуре, а поэтому общая сумма площадей таких областей меньше числа ε/(4M₀).

     Стало быть, сумма всех удаленных слагаемых , меньше числа ε/4.

     Таким образом, с ошибкой, не превышающей ε/4, справедливо равенство

     (7)

где штрих обозначает, что сумма распространена лишь на области D_i, целиком лежащие в соответствующих прямоугольниках разбиения T.

     Заменим теперь в правой части (7) точные грани в областях D_i, содержащихся в частичном прямоугольнике R_k, точной верхней гранью M_k в прямоугольнике R_k. Тогда получим

     (8)

где обозначает площадь области , равной сумме всех областей D_i, целиком содержащихся в прямоугольнике R_k.

решения некоторых задач

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-