решения некоторых задач

Определение и существование двойного интеграла

     Определение двойного интеграла для прямоугольника

     Пусть произвольная функция f(x, y) определена всюду на прямоугольнике R = [a ≤ x ≤ b] × [c ≤ y ≤ d] (см. Рис. 1).

     Разобьем сегмент a ≤ x ≤ b на n частичных сегментов при помощи точек a = x₀ < x₁ < x₂ < ... < x_n = b, а сегмент c ≤ y ≤ d на p частичных сегментов при помощи точек c = y₀ < y₁ < y₂ < ... < y_p = d.

     Этому разбиению при помощи прямых, параллельных осям Ox и Oy, соответствует разбиение прямоугольника R на n · p частичных прямоугольников R_kl = [x_k-1 ≤ x ≤ x_k] × [y_l-1 ≤ y ≤ y_l] (k = 1, 2, ..., n; l = 1, 2, ..., p). Указанное разбиение прямоугольника R обозначим символом T. В дальнейшем в этом разделе под термином "прямоугольник" будем понимать прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям.

     На каждом частичном прямоугольнике R_kl выберем произвольную точку (ξ_k, η_l). Положив Δx_k = x_k - x_k-1, Δy_l = y_l - y_l-1, обозначим через ΔR_kl площадь прямоугольника R_kl. Очевидно, ΔR_kl = Δx_kΔy_l.

     Число

     (1)

называется интегральной суммой функции f(x, y), соответствующей данному разбиению T прямоугольника R и данному выбору промежуточных точек (ξ_k, η_l) на частичных прямоугольниках разбиения T.

решения некоторых задач

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-