Операции сложения и умножения в S' определим через операции в S путем перенесения их в S' с помощью отображения g, т. е. положим

g(a) + g(b) = g(a + b),   g(a)g(b)=g(ab)     (1)

для любых элементов a и b из S. Так как в силу взаимной однозначности отображения g для любого a' из S существует один и только один элемент a из S такой, что g(a) = a', то g(a) и g(b) - любые элементы S', и равенства (1) действительно определяют алгебраические операции в S'.

     Одновременно равенства (1) показывают, что относительно сложения и умножения S' изоморфно S и по предыдущей теореме S - кольцо. Если S - поле, то и S' - поле.

     Покажем, что операции в S' для элементов R' совпадают с операциями, заданными в кольце R'. Так как f - изоморфное отображение R на R', то справедливы равенства

f(a) + f(b) = f(a + b),   f(a)f(b) = f(ab)     (2)

для любых a и b из R.

     Но если в (1) g(a) и g(b) принадлежат R', то a, b, a + b и ab принадлежат R, и по построению отображения g равенства (1) совпадают с равенствами (2), где сложение и умножение в левых частях означают операции, заданные в кольце R'. Этим указанное совпадение операций доказано. Значит, R' - подкольцо S'. Если R - подполе S, то по предыдущей теореме R' - также поле, т. е. подполе S. Теорема доказана.

-1-2-3-4-5-