Теорема 1. Пусть R и R' - множества, в каждом из которых определены операции сложения и умножения. Пусть R изоморфно R'. Тогда, если R есть кольцо (или поле), то и R' будет кольцом (соответственно полем).

     Доказательство. Достаточно убедиться в справедливости для R' аксиом I-VI или I-VIII (определение кольца и определение поля). Во всех случаях (кроме аксиомы VIII, где доказательство очевидно) рассуждение совершенно одинаково. Докажем, например, аксиому III. Пусть a' и b' - элементы R' и a и b - их прообразы в R. Так как в R аксиома III выполнена, то существует элемент такой, что a + c = b. Если c → c', то в силу изоморфизма также a' + c' = b', т. е. c' есть решение уравнения a' + x' = b'. Значит, R' также обладает свойством III. Справедливость в R' остальных аксиом предлагается доказать самостоятельно.

     Вместе с основными свойствами при изоморфизме сохраняются и все другие свойства, являющиеся следствиями основных. Так, при изоморфизме колец R и R' нулю R соответствует нуль R', и если R содержит единицу, то и R' содержит единицу, причем она соответствует единице из R. В самом деле, из a + 0 = a в R следует a' + 0' = a' в R' и из a · 1 = a в R следует a' · 1' = a' в R' для любого элемента a' из R'.

     Большое значение при построении числовых полей будет иметь следующая теорема:

     Теорема 2. Пусть R - подкольцо кольца S и R' - кольцо, изоморфное R и не имеющее общих элементов с S. Тогда для любого данного изоморфного отображения f кольца R на R' существует кольцо S, содержащее в качестве подкольца R' и изоморфное кольцу S, причем существует изоморфное отображение g кольца S на S', совпадающее на R с данным отображением f, т. е. такое, что g(a) = f(a) для любого элемента a из R. Если S - поле, то и S' будет полем. Если R - подполе S, то и R' - подполе S'.

     Доказательство. Пусть S' - множество, полученное из S путем замены элементов R на элементы R', т. е. . Строим такое отображение g множества S на S': если , то положим g(a) = a; если , то положим g(a) = f(a), где f(a) - элемент R', соответствующий a при данном изоморфизме f.

     Так как f - взаимно однозначное отображение R на R', g - взаимно однозначное отображение S\R на себя и множества S и R' не имеют общих элементов (достаточно даже, чтобы S\R и R' не имели общих элементов), то g является взаимно однозначным отображением S на S'.

-1-2-3-4-5-