Аксиоматическое построение математики. Изоморфизм

     Каждая математическая теория изучает множества с теми или иными отношениями элементов, обладающими теми или иными свойствами. Содержание теории заключается в определении одних отношений (или понятий) через другие и в доказательстве одних свойств этих отношений (или понятий) на основании других свойств. Так, в теории упорядоченных множеств одно из отношений "больше" и "меньше" определяется через другое, с их помощью определяется понятие "первый элемент" и т. д.(Упорядоченные множества); в теории колец отношение a - b = c и понятие "нуль" определяются через отношение a + b = c.

     Ясно, что определить все понятия и отношения и доказать все их свойства невозможно по причинам чисто логического характера: каждое определение лишь сводит данное понятие к другим, а каждое доказательство лишь выводит данное свойство из других. Приходится поэтому некоторые отношения (или понятия) оставлять без определения. Они называются основными отношениями или понятиями. Точно так же приходится некоторые свойства этих основных отношений оставлять без доказательства. Эти свойства называются основными свойствами или аксиомами. Список основных понятий и аксиом и составляет фундамент данной математической теории, на котором вся она строится логическими средствами.

     Основной особенностью, придающей современному построению математических наук абстрактный характер, является изучение свойств интересующих нас понятий и отношений в применении к любым множествам, в которых данные понятия и отношения могут быть определены. При этом конкретный смысл элементов множеств и все их конкретные свойства (помимо изучаемых в данной математической теории) для данной теории совершенно безразличны. Так именно было, например, при определении группы, кольца и поля как множеств элементов с данными отношениями (операции сложения и умножения), обладающими данными основными свойствами; так обстоит дело при аксиоматическом построении геометрии, где точки, прямые и плоскости - объекты, природа которых для формального построения геометрии совершенно безразлична, лишь бы между ними были определены основные отношения ("точка лежит на прямой" и т. п.), удовлетворяющие основным условиям (аксиомам геометрии).

     Но если так, то можно подумать, что существует не одна, а много теорий колец и полей, не одна, а много различных геометрий в зависимости от того, какое конкретное множество положено в основу данной теории. Выход из этого затруднения следует уже из сказанного выше и заключается в точном определении содержания данной математической теории. Ведь данная теория изучает не все свойства элементов множества, а лишь те из них, которые относятся к основным отношениям, заданным для этих элементов, и которые вытекают из основных свойств (аксиом), которым подчиняются основные отношения. Все остальные свойства (сами по себе, может быть, весьма важные) просто не являются предметом изучения в данной теории. Она абстрагируется от этих свойств. Поэтому все множества, для элементов которых определены (для каждого множества по-своему, на основе конкретных свойств его элементов) основные отношения и у которых все свойства этих отношений одинаковы, с точки зрения данной теории неразличимы между собой.

-1-2-3-4-5-